Basic Set Theory

1. 표기법 및 용어 정의

표기	의미	예시
대문자	집합명	A, B
소문자	원소명	a, b
∈	포함관계	a ∈ A
∉	비포함관계	a ∉ A
^c	여집합 (Complement) 특정 집합의 원소가 아닌 요소의 모임	A^c
∅	공집합 원소가 없는 집합이며 모든 집합의 부분집합인 원소
⊆	부분집합 A의 모든 원소가 B의 원소	A ⊆ B
=	집합이 같음 즉, A ⊆ B 이며 B ⊆ A 인 상태	A = B
P(A) / 2^A	멱집합 집합 A의 부분집합들의 전체 모임	A={1,2} 라면 P(A) = {{1},{2},{1,2},{∅}}
∪	합집합 (Union) A의 원소 또는 B의 원소 (or 관계) {x :x ∈A or x ∈B}	A ∪ B
∩	교집합 (Intersection) A의 원소이고 B의 원소 (and 관계) {x :x ∈A and x ∈B}	A ∩ B
-	차집합 (Set Difference) A집합 원소이지만 B 집합의 원소는 아님 {x :x ∈A and x / ∈B}	A − B == A ∩ B^c
|A|	기수, 집합의 크기	|A| = 4
ℕ	자연수
ℤ	정수
ℚ	유리수
ℝ	실수

 

• 유한집합 (Finite Set) : 원소의 개수가 유한한 집합
• 무한집합 (Infinite Set) : 원소의 개수가 무한한 집합
• 집합 표기 방법 1 : 모든 원소를 중괄호 내부에 적는 방법  ex) A ={1,2}
• 집합 표기 방법 2 : 원소의 조건을 적어주는 방법 ex) B ={x :x is an even natural number}
• 서로소 (disjoint) : 교집합이 공집합인 두 집합 ( A∩B=∅)
• 기수 (cardinality) : 유한집합 A의 원소의 개수, |A| 로 표기
• 가산집합 (countable set) : 유한집합과 자연수 집합과 크기가 같은 무한집합을 포함하는 집합
• 비가산집합(uncountable set) : 실수집합과 크기가 같은 무한 집합

 

2. 드모르간 법칙 & 분배 법칙

 

 

3. 무한의 종류

(1) 셀 수 있는 무한 (countably infinite) : 자연수, 정수, 유리수는 그 크기가 같은 셀 수 있는 무한 집합

(2) 셀 수 없는 무한 (uncountably infinite) : 실수가 이에 해당됨

이는 칸토어의 집합론에 따라 구분됨

 

4. 가산 및 비가산 집합

인덱스 집합이 자연수 집합임 = conutably infinite 개수의 집합 An 이 여러 개 존재, 이들의 합-교집합을 정의

 

 

5. 집합의 곱 (Cartesian Product)

두 집합 A와 B가 주어져 있을 때, 이것의 곱집합 A*B는 다음을 만족하는 순서쌍 (a, b)로 정의

A×B:={(a,b) : a ∈ A and b ∈B}

ex) A = {1,2}, B = {−1,−2}     →    A × B = { (1,−1), (1,−2), (2,−1), (2,−2) }

 

 

이러한 방식으로 우리는 ℝ^2를 정의 가능하다

ℝ ^2 := ℝ × ℝ = { (a, b) : a ∈ ℝ and b ∈ ℝ }